Мавпа – my ape

Мавпа – на украинском, обезьяна – на русском.

Ape на английском о том, кто кривляется или подражает.
Ape – животное, человекообразное, обезьяна.

Вот что про ape сообщает словарь Collins:

ape
1) any of various primates, esp those of the family Pongidae (see anthropoid ape ), in which the tail is very short or absent 
See also great ape 
2) (not in technical use) any monkey 
3) an imitator; mimic 
4)(US informal) a coarse, clumsy, or rude person 
5) () to imitate 
Etymology: Old English apa ; related to Old Saxon ape , Old Norse api , Old High German affo 
Derived words: apelike
обезьяна
1) любой из различных приматов, особенно представителей семейства Pongidae (см. Человекообразные обезьяны), у которых хвост очень короткий или отсутствует
См. также большая обезьяна
2) (не используется технически) любая обезьяна
3) подражатель; имитировать
4) (американский неофициальный) грубый, неуклюжий или грубый человек
5) () подражать
Этимология: староанглийское апа; связанный с древнесаксонской обезьяной , древнескандинавским api , древневерхненемецким affo
Производные слова: обезьяноподобный

Как видно, по мнению англичан, ape происходит от старо-английского apa - АПА.
Созвучно с украинским МАВПА. Проглочены трудные звуки М и В.

Можно отметить еще такое созвучие: My ape (произносится Май Эйп) – моя обезьянка, созвучно с Мавпа.

О происхождении слов apa, мавпа достоверной версии пока нет.

Слово обезьяна не менее загадочно.

Словарь Фасмера дает такие версии происхождения.
Первая - народная, от облизьяна. Так, видимо где-то называли это животное. Фасмер считает, что от облизывать. Что обезьяна облизывает? Хотя вполне более вероятной может быть от облезлый (зад). 
Вторая - от турецкого, персидского Abuzine - обезьяна. Без обоснований, как о любом заимствовании. Почему не обратное заимствование?
Третья - от без-изъяна. Сам Фасмер считает ее не удовлетворительной.

Мы можем добавить четвертую. Про того, кто подражает другим все время, кривляется, можно сказать, что у него нет своего лица, своего Я. Он без Я,  О-БЕЗ-Я-НА, обезьяна.